Question

如圖,長方體中，E、P分別是BC、的中點, M、N分別是AE、的中點, ,AB=2a

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱錐的體積。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）證明：取CD的中點K，連結MK，NK

       ∵M，N，K分別為AK，CD₁，CD的中點

       ∵MK//AD，NK//DD₁

       ∴MK//面ADD₁A₁，NK//面ADD₁A₁

     ∴面MNK//面ADD₁A₁   ∴MN//面ADD₁A₁

（Ⅱ）設F為AD的中點

∵P為A₁D₁的中點   ∴PF//D₁D   ∴PF⊥面ABCD

作PH⊥AE，交AE于H，連結PH，則由三垂線定理得AE⊥PH

從而∠PHF為二面角P-AE-D的平面角。

在Rt△AEF中，AF=,EF=,，

從而

在Rt△PFH中，

故：二面角P-AE-D的大小為

（Ⅲ）S_△NEP==

作DQ⊥CD₁，交于Q，由A₁D₁⊥面 CDD₁C₁得 A₁C₁⊥DQ

∴DQ⊥面BCD₁A₁

∴在Rt△CDD₁中，

∴V_P-DEN=V_D-ENP=S_△NEP?DQ=

解法二：以D為原點，DA,DC,DD₁所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則

        A(a,0,0), B(a,2a,0), C(0,2a,0), A₁ (a,0,a),  D₁(0,.0,a)

     

∵E,P,M,N分別是BC,A₁D₁,AE,CD₁的中點

∴

（Ⅰ）

          取，顯然

          ，∴

又  ∴

（Ⅱ）過P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中點F，則

設，則

又

由，及H在直線AE上，可得:

解得

∴

     ∴   即

∴與所夾的角等于二面角P-AE-D的大小

      

故：二面角P-AE-D的大小為

（Ⅲ）設為平面DEN的法向量，則，

       又，，

      ∴    即   ∴可取

     ∴P點到平面DEN的距離為

∵，

  

     ∴

     ∴