Question

已知集合A＝{x|x²＋a≤|a＋1|x，a∈R}

(1)求A；

(2)若以a為首項，a為公比的等比數(shù)列前n項和記為S_n，對于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由 　　當(dāng)a＞1時，1≤x≤a，當(dāng)－1≤a≤1時，a≤x≤1，當(dāng)a＜－1時，－1≤x≤－a． 　　綜上，當(dāng)a＞1時，A＝{x|1≤x≤a}，∴當(dāng)－1≤a≤1時，A＝{x|a≤x≤1}；當(dāng)a＜－1時，A＝{x|－1≤x≤－6}．　　6分 　　(2)當(dāng)a≥1，A＝{x|1≤x≤a}．而S2＝a＋a2A，故a≥1時，不存在滿足條件a　　7分 　　當(dāng)0＜a＜1時，A＝{a≤x≤1}，而是關(guān)于n的增函數(shù)，所以Sn隨n的增大而增大，當(dāng)且無限接近時，對任意的，只須a滿足 　　　　10分 　　當(dāng)a＜－1時，A＝{x|－1≤x≤－a}　顯然S1＝aA，故不存在實數(shù)a滿足條件 　　當(dāng)a＝－1時，A＝{x|－1≤x≤1}．S2n+1＝－1，S2n＝0適合 　　當(dāng)－1＜a＜0時，A＝{x|a≤x≤1}． 　　S2n－1＝S2n－1＋a2n＋a2n+1＝S2n－1＋a2n＋a2n+1＝S2n－1＋a2n(1＋a)＞S2n－1， 　　S2n－2＝S2n＋a2n+1＋a2n+2＝S2n＋a2n+1＋a2n+2＝S2n＋a2n+1(1＋a)＜S2n， 　　∴S2n－1＜S2n+1，S2n+2＜S2n且S2＝S1＋a2＞S1，S2n+1＝S2n＋a2n+1＝S2n＋a2n+1＜s2n 　　故S1＜S3＜S5＜…＜S2n－1＜S2n+1＜…＜S2n＜S2n－2＜…＜S4＜S2． 　　故只需　　13分 　　綜上所述，a的取值范圍是{}　　14分