Question

（2006•石景山區一模）設函數f（x）的定義域為R，若存在常數m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為F函數．給出下列函數：
①f（x）=0；
②f（x）=x²；
③f（x）=

2

（sinx+cosx）；
④f（x）=

x

x2+x+1

；
⑤f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁、x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是F函數的序號為

①④⑤

．

Answer 1

分析：根據F函數的定義進行判定：對于①可以利用定義直接加以判斷；②利用新定義|f（x）|≤M|x|，|x|≤M，對其進行判斷；③利用特殊值法進行判斷，令x=0進行判斷；對于④，需要通過討論，將不等式變形為|

1

x2+x+1

|≤m，可以求出符合條件的m的最小值，從而求解；⑤f（x）是定義在實數集R上的奇函數，故|f（x）|是偶函數，可以求出M的范圍，從而求解；

解答：解：對于①f（x）=0，顯然對任意常數m＞0，均成立，故f（x）為F函數，故①正確；
②f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故②不是F函數．
③f（x）=

2

（sinx+cosx），由于x=0時，若|f（x）|≤M|x|成立，則可得

2

≤0不成立，故③錯誤；
④若f（x）=

x

x2+x+1

，則|f（x）|=|

x

x2+x+1

|=

|x|

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

|x|，故對任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函數，故④正確；
⑤f（x）是定義在實數集R上的奇函數，故|f（x）|是偶函數，
因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，符合題意，故⑤正確．
故答案為：①④⑤；

點評：本題主要考查學生的閱讀理解能力．知識點方面主要考查了函數的最值及其幾何意義，綜合性較強．