Question

已知點P是橢圓上的在第一象限內的點，又A（2，0）、B（0，1），O是原點，則四邊形OAPB的面積的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用三角函數來解答這道題，橢圓方程上 里面的自變量x，y可以表示為 x=2cosa y=sina 本題中要求第一象限，這樣就應該有0＜a＜π，設P為（2cosa，sina）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，對于三角形OAP有面積S₁=sina 對于三角形OBP有面積S₂=cosa 這樣四邊形的面積S=S₁+S₂=sina+cosa也就相當于求解sina+cosa的最大值，0＜a＜π，sina+cosa=sin（a+）這樣其最大值就應該為，并且當且僅當a=時成立．
解答：解：由于點P是橢圓上的在第一象限內的點，
 設P為（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），
這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，
對于三角形OAP有面積S₁=sina 對于三角形OBP有面積S₂=cosa
∴四邊形的面積S=S₁+S₂=sina+cosa
=sin（a+）
其最大值就應該為，
并且當且僅當a=時成立．所以，面積最大值．
故答案為：．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解答的關鍵在于利用橢圓的參數方程設出橢圓上一點的坐標，利用三角函數的有界性求最值．