Question

已知函數f(x)=

2

3

x3-2x2+(2-a)x+1，其中a∈R．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）在區間[2，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入解析式，再求出導數，再求出切線的斜率f′（1）和f（1），代入點斜式方程再化為一般式；
（2）由題意求出導數并配方，對a進行分類：a≤0和a＞0討論，再a＞0情況下再分類，求出對應的臨界點，判斷出在[2，3]上的單調性，求出函數的最大值，最后在用分段函數的形式表示出來．

解答：解：（1）當a=2時，f(x)=

2

3

x3-2x2+1，
則f′（x）=2x²-4x，故切線的斜率k=f′（1）=-2，
又∵f(1)=-

1

3

，∴切線方程為 y+

1

3

=-2(x-1)，
即6x+3y-5=0．
（2）由題意得f′（x）=2x²-4x+2-a=2（x-1）²-a，
當a≤0時，f′（x）≥0，∴f（x）在[2，3]上單調遞增，
則f（x）_max=f（3）=7-3a，
當a＞0時，令f′（x）=0，得x=1±

a 2

①當0＜a≤2時，f（x）在[2，3]上單調遞增，則f（x）_max=f（3）=7-3a
②當2＜a＜8時，f（x）在(2，1+

a 2

)上單調遞減，在(1+

a 2

，3)上單調遞增，
比較f（2）與f（3）的大小，令f（2）＞f（3），

16

3

-8+2(2-a)+1＞

54

3

-18+3(2-a)+1，
解得a＞

14

3

，
③當a≥8時，f（x）在[2，3]上單調遞減，f(x)max=f(2)=

7

3

-2a
綜上，f(x)max=

7 3 -2a，a＞ 14 3 7-3a，a≤ 14 3

點評：本題考查了導數的幾何意義，以及導數與函數的單調性、最值之間的關系，考查了分類討論思想和做差法比較大小，屬于中檔題．