Question

已知向量

a

，

b

的夾角為60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，設

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

（1）求

a

•

b

；  （2）試用t來表示

m

•

n

的值；（3）若

m

與

n

的夾角為鈍角，試求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

，

b

的夾角為60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，代入向量數量積公式，易求出

a

•

b

；  
（2）根據已知中

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

，結合向量

a

，

b

的夾角為60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，代入向量數量積公式，即可表示出

m

•

n

的值；
（3）若

m

與

n

的夾角為鈍角，于是

m

•

n

＜0且

m

與

n

不平行，根據（2）中結論，構造關于t的不等式組，解不等式組，即可得到實數t的取值范圍．

解答：解：（1）∵向量

a

，

b

的夾角為60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，
∴

a

•

b

=1×2×cos60°=1；  …（3分）
（2）∵

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

∴

m

•

n

=(3

a

-

b

)•(t

a

+2

b

)=3t

a

2+(6-t)

a

•

b

-2

b

2=3t+6-t-2×4=2t-2…（3分）
（3）夾角為鈍角，于是

m

•

n

＜0且

m

與

n

不平行．
其中

m

•

n

＜0⇒t＜1，而

m

∥

n

⇒t=-6，
于是實數t的取值范圍是t∈（-∞，-6）∪（-6，1）．…（3分），其中沒排除平行情況扣（2分）

點評：本題考查的知識點是平面向量數量積的運算，數量積表示兩個向量的夾角，熟練掌握平面向量的數量積公式，是解答本題的關鍵，（3）中易忽略t=-6時，向量

m

與

n

反向的情況，而錯解為（-∞，1）