Question

（2012•朝陽區一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點M（1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設點N（3，2），記直線AN，BN的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，c=

2

，a²-b²=2，利用點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直，可得b=|OM|=1，從而可得橢圓的方程；
（II）①當直線l的斜率不存在時，求出A，B的坐標，進而可得直線AN，BN的斜率，即可求得結論；②當直線l的斜率存在時，直線l的方程為：y=k（x-1），代入

x2

3

+y2=1，利用韋達定理及斜率公式可得結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意，c=

2

，a²-b²=2，
∵點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直，
∴b=|OM|=1，
∴a=

3

．…（3分）
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（II）①當直線l的斜率不存在時，由

x=1 x2 3 +y2=1

解得x=1，y=±

6

3

．
設A(1，

6

3

)，B(1，-

6

3

)，則k1+k2=

2- 6 3

2

+

2+ 6 3

2

=2為定值．…（5分）
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入

x2

3

+y2=1整理化簡，得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．…（6分）
依題意，直線l與橢圓C必相交于兩點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-3

3k2+1

．…（7分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以k1+k2=

2-y1

3-x1

+

2-y2

3-x2

=

(2-y1)(3-x2)+(2-y2)(3-x1)

(3-x1)(3-x2)

=

[2-k(x1-1)](3-x2)+[2-k(x2-1)](3-x1)

9-3(x1+x2)+x1x2

=

12-2(x1+x2)+k[2x1x2-4(x1+x2)+6]

9-3(x1+x2)+x1x2

=

12-2(x1+x2)+k[2× 3k2-3 3k2+1 -4× 6k2 3k2+1 +6]

9-3× 6k2 3k2+1 + 3k2-3 3k2+1

=

12(2k2+1)

6(2k2+1)

=2．．…．…（13分）
綜上得k₁+k₂為常數2..…．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數學思想，聯立方程，利用韋達定理是關鍵．