Question

8．點M（x，y）與定點F（1，0）的距離和它到直線l：x=2的距離的比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（Ⅰ）求點M的軌跡．
（Ⅱ）是否存在點M到直線$\frac{x}{{\sqrt{2}}}$+y=1的距離最大？最大距離是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求出軌跡方程，即可求點M的軌跡．
（Ⅱ）設直線m平行于直線l，m：$\frac{x}{\sqrt{2}}$+y=t，聯立橢圓方程，令關于y方程（t-y）²=1-y²的根的判別式為零解得t，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|2-x|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$化簡得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1
所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為2$\sqrt{2}$，2的橢圓．
（Ⅱ）設直線m平行于直線l，m：$\frac{x}{\sqrt{2}}$+y=t，聯立橢圓方程，消去x，可得（t-y）²=1-y²，
令關于y方程（t-y）²=1-y²的根的判別式為零解得t=$±\sqrt{2}$．
當t=-$\sqrt{2}$時直線m與橢圓的交點到直線l的距離最遠，d=$\frac{|1+\sqrt{2}|}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．