Question

已知函數f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

x+ 1 4x ，x＞0 -x2-6x-8，x≤0

，關于方程g[f（x）]-a=0（a為正實數）的根的敘述有下列四個命題
①存在實數a，使得方程恰有3個不同的實根；
②存在實數a，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數a，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數a，使得方程恰有6個不同的實根；
其中真命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：關于x的方程g[f（x）]-a=0可化為g[f（x）]=a，畫出函數y=g[f（x）]和y=a的圖象可得解．

解答：解：關于x的方程g[f（x）]-a=0可化為g[f（x）]=a，
分別畫出函數y=g[f（x）]和y=a（a＞0）的圖象，如圖．
由圖可知，它們的交點情況是：
可能有4個、5個、或6個不同的交點，故有：
①不存在實數a，使得方程恰有3個不同的實根；
②存在實數a，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數a，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數a，使得方程恰有6個不同的實根；
其中真命題的個數是3．
故選D．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷、分段函數，以及函數與方程的思想，數形結合的思想．