Question

若函數y=f（x）在x=x₀處取得極大值或極小值，則稱x₀為函數y=f（x）的極值點。已知a，b是實數，1和-1是函數f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點。
（1）求a和b的值；
（2）設函數g（x）的導函數g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點；
（3）設h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函數y=h（x）的零點個數。

Answer 1

解：（1）由 f（x）=x³+ax²+bx，得 f′（x）=3x²+2ax+b
∵1和-1是函數f（x）的兩個極值點，
∴f′（1）=3-2a+b=0，f′（-1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=-3。
（2）由（1）得，f（x）=x³-3x，
∴g′（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2）=0，
解得x₁=x₂=1，x₃=-2
∵當x＜-2時，g′（x）＜0；
當-2＜x＜1時，g′（x）＞0，
∴-2是g（x）的極值點
∵當-2＜x＜1或x＞1時，g′（x）＞0，
∴1不是g（x） 的極值點
∴g（x）的極值點是-2。
（3）令f（x）=t，則h（x）=f（t）-c
先討論關于x的方程f（x）=d根的情況，d∈[-2，2]
當|d|=2時，由（2 ）可知，f（x）=-2的兩個不同的根為1和-2，
注意到f（x）是奇函數，
∴f（x）=2的兩個不同的根為-1和2
當|d|＜2時，∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d＞0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d＜0，
∴-2，-1，1，2 都不是f（x）=d 的根
由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x-1）
①當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調增函數，
從而f（x）＞f（2）=2
此時f（x）=d在（2，+∞）無實根
②當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調增函數
又∵f（1）-d＜0，f（2）-d＞0，y=f（x）-d的圖象不間斷，
∴f（x）=d在（1，2 ）內有唯一實根
同理，在（-2，-I1）內有唯一實根
③當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，于是f（x）是單調減函數
又∵f（1）-d＞0，f（2）-d＜0，y=f（x）-d的圖象不間斷，
∴f（x）=d在（-1，1 ）內有唯一實根
因此，當|d|=2 時，f（x）=d 有兩個不同的根 x₁，x₂，滿足|x₁|=1，|x₂|=2；
當|d|＜2時，f（x）=d 有三個不同的根x₃，x₄，x₅，滿足|x_i|＜2，i=3，4，5
現考慮函數y=h（x）的零點：
（ i ）當|c|=2時，f（t）=c有兩個根t₁，t₂，滿足|t₁|=1，|t₂|=2
而f（x）=t₁有三個不同的根，f（x）=t₂有兩個不同的根，
故y=h（x）有5 個零點。
（ i i  ）當|c|＜2時，f（t）=c有三個不同的根t₃，t₄，t₅，滿足|t_i|＜2，i=3，4，5
而f（x）=t_i有三個不同的根，故y=h（x）有9個零點
綜上所述，當|c|=2時，函數y=h（x）有5個零點；
當|c|＜2時，函數y=h（x）有9 個零點。