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如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥側面PAB，△PAB是等邊三角形，DA＝AB＝2，BC＝AD，E是線段AB的中點．

(Ⅰ)求證：PE⊥CD；

(Ⅱ)求PC與平面PDE所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：因為側面，平面，所以．

　　又因為△是等邊三角形，是線段的中點，所以．

　　因為，所以平面．

　　而平面，所以．5分

　　(Ⅱ)解：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．

　　則，，，．

　　，，．

　　設為平面的法向量．

　　由即

　　令，可得．9分

　　設與平面所成的角為．

　　．

　　所以與平面所成角的正弦值為．12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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同步練習冊答案
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