Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD為等邊三角形，PA=BD= ，AB=AD，E為PC的中點(diǎn)．

（1）求證：BC⊥AB；
（2）求AB的長(zhǎng)；
（3）求平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AC，

∵PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC，

又∵BC⊥PB，PA∩PB=P，∴BC⊥平面PAB，

∵AB平面PAB，

∴AB⊥BC

（2）解：由（1）知AB⊥BC，

∵△BCD為等邊三角形，∴∠ABD=30°，

又AB=AD， ，

解得AB=1

（3）解：分別以BC，BA所在直線(xiàn)為x，y軸，過(guò)B且平行PA的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

， ， ， ．

由題意可知平面PAB的法向量 ，

設(shè)平面BDE的法向量為 ，

則 即 ，

取x=3，得 ，

，

∴平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值為 ．

【解析】（1）連結(jié)AC，推導(dǎo)出PA⊥BC，BC⊥PB，從而B(niǎo)C⊥平面PAB，由此能證明AB⊥BC．（2）推導(dǎo)出AB⊥BC，∠ABD=30°，由此能求出AB．（3）分別以BC，BA所在直線(xiàn)為x，y軸，過(guò)B且平行PA的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行．