Question

已知向量

m

=(2cos2x，

3

)，

n

=(1，sin2x)，函數f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，f（C）=3，c=1，S△ABC=

3

2

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1從而可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3及C是三角形內角，可求C=

π

6

，利用余弦定理cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

及S△ABC=

3

2

，即可求得a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)=2cos2x+

3

sin2x…（2分）
=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f（x）的最小正周期T=π…（6分）
（Ⅱ）f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3
∴sin(2C+

π

6

)=1
∵C是三角形內角，C∈（0，π）
∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，
∴2C+

π

6

=

π

2

即：C=

π

6

…（9分）
∴cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

∵S△ABC=

3

2

，
∴

1

2

absin

π

6

=

3

2

，
∴ab=2

3

…（12分）
又c=1，代入

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

得 a2+

12

a2

=7
解之得：a²=3或4
∴a=

3

或2
當a=

3

時，b=2；當a=2時，b=

3

；
∵a＞b，
∴a=2，b=

3

…（16分）

點評：本題重點考查三角函數與三角形的綜合，考查余弦定理的運用，考查三角恒等變換，綜合性強．