Question

如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點，E是邊AC上任一點，連接DE，F是線段DE上一點，連接BF，設，

DF

DE

=λ1，

AE

AC

=λ2，且λ1+λ2=

1

2

，記△BDF的面積為S=f （λ₁，λ₂，），則S的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先由△ABC的面積為1，

AE

AC

=λ2，得出：△ABE的面積為λ₂，D是AB的中點，得到△BDE的面積為

λ2

2

，代入△BDF的面積中，根據基本不等式的性質求得S的最大值即可．

解答：解：因為△ABC的面積為1，

AE

AC

=λ2，所以，△ABE的面積為λ₂，
因為D是AB的中點，所以，△BDE的面積為

λ2

2

，因為

DF

DE

=λ1，
所以△BDF的面積為

1

2

λ1λ2≤

1

2

(

λ1+λ2

2

)2=

1

32

，
當且僅當λ₁=λ₂時，取得最大值．
故答案為：

1

32

．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．基本不等式在解決生活問題中常被用到，也是高考應用題中熱點，平時應用注意這方面的訓練．