Question

已知函數f（x）=x³+ax²+b的圖象在點p（1，0）處（即p為切點）的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求常數a、b的值；
（2）求函數f（x）在區間[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）由題目條件知，點P（1，0）為切點，且函數在改點處的導數值為切線的斜率，從而建立關于a，b的方程，可求得a，b的值；
（2）由（1）確定了函數及其導數的解析式，解不等式f'（x）＞0與f'（x）＜0，可求出函數的單調區間，討論t與區間（0，2]的位置關系，根據函數的單調性分別求出函數f（x）在區間[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax，
因為函數f（x）=x³+ax²+b的圖象在點p（1，0）處（即p為切點）的切線與直線3x+y=0平行，
所以f'（1）=3+2a=-3，
∴a=-3．
又f（1）=a+b+1=0
∴b=2．
綜上：a=-3，b=2
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x²+2，f'（x）=3x²-6x．
令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2
∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（2，+∞），單調遞減區間為（0，2）．
又f（0）=2，f（3）=2
∴當0＜t≤2時，f（x）的最大值為f（0）=2，最小值為f（t）=t³-3t²+2；
當2＜t≤3時，f（x）的最大值為f（0）=2，最小值為f（2）=-2；
當t＞3時，f（x）的最大值為f（t）=t³-3t²+2，最小值為f（2）=-2

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的最大值，最小值，同時考查了導數的幾何意義，以及學生靈活轉化題目條件的能力，屬于中檔題．