Question

函數f(x)=

x

-cosx在區間[0，+∞）的零點個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．無窮

Answer 1

分析：根據余弦函數的最大值為1，可知函數在[π，+∞）上為正值，在此區間上函數沒有零點，問題轉化為討論函數在區間[0，π）上的零點的求解，利用導數討論單調性即可．

解答：解：f′（x）=

1

2 x

+sinx
①當x∈[0．π）時，

1

2 x

＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0
∴函數在[0，π）上為單調增
取x=

π

6

，得f（

π

6

）=

π 6

-cos

π

6

＜0，而f（

π

2

）=

π 2

＞0，可得函數在區間（0，π）有唯一零點
②當x≥π時，

x

≥

π

＞1且cosx≤1，故函數在區間[π，+∞）上恒為正值，沒有零點
綜上所述，函數在區間[0，+∞）上有唯一零點
故選B．

點評：本題考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．