Question

已知函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1，常數α為方程f（x）=x的實數根．
（1）求證：當x＞α時，總有x＞f（x）成立；
（2）若函數f（x）的定義域為I，對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立，求證：方程f（x）=x不存在異于α的實數根．

Answer 1

解：（1）令h（x）=x-f（x），
∵h'（x）=1-f'（x）＞0，
∴h（x）為增函數．
又∵h（α）=α-f（α）=0，
∴當x＞α時，h（x）＞0，即x＞f（x）．
（2）假設方程f（x）=x有異于α的實根β，即f（β）=β，
不妨設β＞α，則β-α=f（β）-f（α），
由題意在α與β之間必存在一點c，α＜c＜β，
使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，
因為α≠β，所以必有f'（c）=1，但這與0＜f'（x）＜1矛盾．
因此，方程f（x）=x不存在異于α的實數根．
分析：（1）欲比較x與f（x）的大小，先構造函數h（x）=x-f（x），根據條件可知h（x）為增函數，求出h（x）在（α，+∞）上的最小值即可；
（2）用反證法進行證明，假設方程f（x）=x有異于α的實根β，由題意在α與β之間必存在一點c，α＜c＜β，使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，而α≠β，所以必有f'（c）=1，但這與0＜f'（x）＜1矛盾，得到結論．
點評：本題要求會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，以及考查反證法的運用，屬于中檔題．