Question

已知直線l：y=kx+2（k為常數）過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（（a＞b＞0）的上頂點B和左焦點F，直線l被圓x²+y²=4截得的弦長為d、
（1）若d=2

3

，求k的值；
（2）若d≥

4

5

5

，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若d=2

3

，求k，先有平面幾何的知識求出點O到直線l的距離，再由點到直線的距離公式求出點O到直線l的距離，如此得方程．
（2）用斜率k表示出弦長d，代入d≥

4

5

5

，解出k的范圍，將離心率用k表示出來，利用單調性求出離心率的范圍，

解答：解：（1）取弦的中點為M，連接OM由平面幾何知識，OM=1，
OM=

2

k2+1

=1．
解得k²=3，k=±

3

．
∵直線過F、B，∴k＞0，
則k=

3

．
（2）設弦的中點為M，連接OM，
則OM²=

4

1+k2

，
d²=4（4-

4

1+k2

）≥（

4 5

5

）²，
解得k²≥

1

4

．
e²=

c2

a2

=

( 2 k )2

4+( 2 k )2

=

1

1+k2

≤

4

5

，
∴0＜e≤

2 5

5

．

點評：考查直線與圓，與圓錐曲線的位置關系，本題的解題特點是把位置關系轉化為方程或方程組，這是此類題的常見方式．