Question

（文科做）數列{a_n}中，a₃=1，S_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（I）求a₁，a₂；
（II）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（III）設b_n=log₂S_n，存在數列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1，試求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（I）通過已知的關系式直接求a₁，a₂；
（II）利用a_n+1=S_n+1-S_n，與已知的關系式，推出數列{S_n}是等比數列，即可求數列{a_n}的前n項和S_n；
（III）設b_n=log₂S_n，求出b_n的表達式，求出數列{c_n}的通項公式，通過裂項法求數列{c_n}的前n項和．

解答：解：（I）∵a₁=a₂，a₁+a₂=a₃，
∴2a₁=a₃=1，
∴a1=

1

2

，a2=

1

2

．…2分
（II）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，
∴2Sn=Sn+1，

Sn+1

Sn

=2，…6分
∴{Sn}是首項為S1=a1=

1

2

，公比為2的等比數列．
∴Sn=

1

2

•2n-1=2n-2．（n∈N^*）．…9分
（III）∵b_n=log₂S_n，S_n=2^n-2，
∴b_n=n-2，b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，
∴cn•(n+1)(n+2)=1，cn=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．…11分
∴c1+c2+…+cn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．…14分

點評：本題是中檔題，考查數列遞推關系式的應用，數列通項公式的求法，前n項和的求法，考查計算能力，邏輯推理能力．