Question

假設1部機器在一天內發生故障的概率為0.2,機器發生故障時,全天停止工作.若在一周的5個工作日內無故障,可獲利潤10萬元,發生1次故障仍可獲利潤5萬元;發生2次故障所獲得的利潤為0元;發生3次或3次以上故障就要虧損2萬元,求一周期望利潤是多少.

Answer 1

分析：用隨機變量ξ表示一周5天內機器發生故障的天數,顯然ξ服從二項分布B(5,0.2),因此我們容易求得ξ的分布列,從而可求得ξ=0,ξ=1,ξ=2,ξ≥3對應的所獲利潤z分別取10(萬元)、5（萬元）、0（萬元）、-2（萬元）值時的概率，這樣，我們可立即求得E（z）的值.

解：由上面的分析,P(ξ=k)=(0.2)^k(1-0.2)^5-k(k=0,1,2,…,5).

所以P(ξ＝0)=(0.8)⁵=0.328,P(ξ=1)=0.2·(0.8)⁴=0.410,

P(ξ=2)=(0.2)²·(0.8)³=0.205.

P(ξ≥3)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)］=1-(0.328+0.410+0.205)=0.057.

用z表示所獲利潤,則

z=

故P（z=10）=0.328,P(z=5)=0.410,

P(z=0)=0.205,P(z=-2)=0.057.

所以一周期望的利潤為

E（z）=10×0.328+5×0.410+0×0.025+(-2)×0.057=5.216(萬元).