Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經過點D（0，1），一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過$M（0，-\frac{1}{3}）$的直線l交橢圓C于A，B兩點，判斷點D與以AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓經過D（0，1），一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）以AB為直徑的圓經過點D．當直線AB與x軸垂直時，D在圓上；當直線AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程為$y=kx-\frac{1}{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{1}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得9（2k²+1）x²-12kx-16=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量數量積公式，結合已知條件能推導出點D在圓上．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經過D（0，1），
∴b=1．（1分）
∵一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直，∴a=$\sqrt{2}$．（3分）
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．（4分）
（Ⅱ）以AB為直徑的圓經過點D，理由如下：（5分）
當直線AB與x軸垂直時，由題意知D在圓上，（6分）
當直線AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程為$y=kx-\frac{1}{3}$．（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{1}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得9（2k²+1）x²-12kx-16=0，
△=144k²+64×9（2k²+1）＞0，（8分）
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{3（2{k}^{2}+1）}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{16}{9（2{k}^{2}+1）}$，（9分）
$\overrightarrow{DA}=（{x_1}，{y_1}-1）$，$\overrightarrow{DB}=（{x_2}，{y_2}-1）$．
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}={x_1}{x_2}+（{y_1}-1）（{y_2}-1）$（10分）
=${x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}-\frac{4}{3}）（k{x}_{2}-\frac{4}{3}）$
=（1+k²）x₁x₂-$\frac{4}{3}k$（x₁+x₂）+$\frac{16}{9}$
=（1+k²）[-$\frac{16}{9（2{k}^{2}+1）}$]-$\frac{4}{3}k$•$\frac{3k}{3（2{k}^{2}+1）}$+$\frac{16}{9}$=0，（11分）
∴DA⊥DB，∴點D在圓上．
綜上所述，點D一定在以AB為直徑的圓上．（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點是否在圓上的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量數量積公式、橢圓性質的合理運用．