Question

已知a∈R，函數f（x）=x²（x-a）．
（1）若函數f（x）在區間(0，

2

3

)內是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-ax²，知f'（x）=3x²-2ax．由函數f（x）在區間(0，

2

3

)內是減函數，知f'（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立．由此能求出實數a的取值范圍．
（2）由f′(x)=3x(x-

2

3

a)，令f'（x）=0得x=0或

2

3

a．若a≤0，則當1≤x≤2時，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若0＜a＜

3

2

，當1≤x≤2時，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若

3

2

≤a＜3，1＜x＜

2

3

a時，f'（x）＜0；當

2

3

a＜x＜2時，f'（x）＞0．所以h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3若a≥3，當1＜x＜2時，f'（x）＜0，所以h（a）=f（2）=8-4a．由此能得到結果．

解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，
∴f'（x）=3x²-2ax．…（2分）
∵函數f（x）在區間(0，

2

3

)內是減函數，
∴f'（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立． 
 即a≥

3x

2

在(0，

2

3

)上恒成立，…（4分）
∵

3x

2

＜

3

2

×

2

3

=1，
∴a≥1．故實數a的取值范圍為[1，+∞）．…（6分）
（2）解：∵f′(x)=3x(x-

2

3

a)，
令f'（x）=0得x=0或

2

3

a．…（8分）
①若a≤0，則當1≤x≤2時，f'（x）＞0，
所以f（x）在區間[1，2]上是增函數，
所以h（a）=f（1）=1-a．…（9分）
②若0＜a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1，
則當1≤x≤2時，f'（x）＞0，
所以f（x）在區間[1，2]上是增函數，
所以h（a）=f（1）=1-a…（10分）
③若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2，
則當1＜x＜

2

3

a時，f'（x）＜0；
當

2

3

a＜x＜2時，f'（x）＞0．
∴f（x）在[1，

2

3

a]上是減函數，在[

2

3

a，2]上是增函數．
∴h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3．…（11分）
④若a≥3，即

2

3

a≥2，
則當1＜x＜2時，f'（x）＜0，
所以f（x）在區間[1，2]上是減函數．
所以h（a）=f（2）=8-4a．…（12分）
綜上h(a)=

1-a    ，a＜ 3 2 - 4 27 a3，   3 2 ≤a＜3， 8-4a，，a≥3．

…（14分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．