Question

已知圓和直線x-6y-10=0相切于（4，-1），且經過點（9，6），求圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：設出圓心坐標，因為（4，-1）和（9，6）在圓上，所以利用兩點間的距離公式表示出兩點到設出圓心的距離，并讓其相等列出關于a與b的方程，記作①，然后根據圓的切線垂直于過切點的直徑，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出直徑所在直線的斜率，根據切點坐標和求出的斜率寫出直徑所在直線的方程，把圓心坐標代入又得到關于a與b的方程，記作②，聯立①②，即可求出a與b的值得到圓心坐標，然后利用兩點間的距離公式求出圓心到（9，6之間的距離即為圓的半徑，根據圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程即可．
解答：解：設圓心坐標為（a，b），因為點（4，-1），點（9，6）都是圓上的點，
所以圓心與這兩個點的距離相等，即（a-9）²+（b-6）²=（a-4）²+（b+1）²，
化簡得：50-5a=7b①，
又因為圓與直線x-6y-10=0切于（4，-1），所以直徑所在直線的斜率為-6，
所以經過（4，-1）的圓直徑所在直線的方程為y+1=-6（x-4），
由于圓心在此直線方程上，代入得：b+1=-6（a-4）②，
聯立①②，解得a=3，b=5，即圓心坐標為（3，5），
則圓的半徑r==，
所以圓的標準方程為：（x-3）²+（y-5）²=37．
點評：此題考查學生掌握切線的性質，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關系，會根據圓心與半徑寫出圓的標準方程，是一道綜合題．