Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值為（ ）
A．n（n∈Z）
B．2n（n∈Z）
C．2n或（n∈Z）
D．n或（n∈Z）

Answer 1

【答案】分析：首先求出直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2）上的圖象有兩個不同的公共點時的a的值為0或，又因為對任意的x∈R，
都有f（x+2）=f（x），所以要求的實數(shù)a的值為2n或2n-．
解答：解：因為函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，于是f（x）=（-x）²=x²．
設(shè)x∈[1，2]，則（x-2）∈[-1，0]．于是，f（x）=f（x-2）=（x-2）²．
①當a=0時，聯(lián)立，解之得，即當a=0時，即直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點．
②當-2＜a＜0時，只有當直線y=x+a與函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，1）上相切，且與函數(shù)f（x）=（x-2）² 在x∈[1，2）上僅有一個交點時才滿足條件．由f^′（x）=2x=1，解得x=，
∴y==，故其切點為，
∴；
由（1≤x＜2）解之得．
綜上①②可知：直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2）上的圖象有兩個不同的公共點時的a的值為0或．
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），實數(shù)a的值為2n或2n-，（n∈Z）．
故應(yīng)選C．
點評：此題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法．