Question

用模型f（x）=ax+b來描述某企業每季度的利潤f（x）（億元）和生產成本投入x（億元）的關系．統計表明，當每季度投入1（億元）時利潤y₁=1（億元），當每季度投入2（億元）時利潤y₂=2（億元），當每季度投入3（億元）時利潤y₃=2（億元）．又定義：當f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的數值最小時為最佳模型．
（1）若b=

2

3

，求相應的a使f（x）=ax+b成為最佳模型；
（2）根據題（1）得到的最佳模型，請預測每季度投入4（億元）時利潤y₄（億元）的值．

Answer 1

分析：（1）當f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的數值最小時為最佳模型，把條件中所給的數值代入，整理出關于a的二次函數，得到結果．
（2）根據上一問做出的a的值，和所給的b的值，寫出關于利潤f（x）（億元）和生產成本投入x（億元）的關系式，把所給的x=4代入，得到y的值．

解答：解：（1）∵當f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的數值最小時為最佳模型
b=

2

3

時[f(1)-y1]2+[f(2)-y2]2+[f(3)-y3]2=14(a-

1

2

)2+

1

6

∴a=

1

2

時，函數為最佳模型
（2）∵a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

x+b，
∵b=

2

3

∴f(x)=

1

2

x+

2

3

，
∴當x=4時有y4=f(4)=

8

3

點評：本題考查函數模型的選擇和應用，本題解題的關鍵是讀懂題意，看清楚本題所定義的最簡模型的運算，本題是一個比較新穎的題目．