Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx．
（1）若a=2b，試問函數f（x）能否在x=-1處取到極值？若有可能，求出實數a，b的值；否則說明理由．
（2）若函數f（x）在區間（-1，2），（2，3）內各有一個極值點，試求w=a-4b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導數f′（x），把a=2b代入f′（x），由x=-1為極值點得f′（-1）=0，解出b，a，再代入檢驗即可；
（2）f（x）在區間（-1，2），（2，3）內各有一個極值點，即f′（x）=0分別在（-1，2）、（2，3）內各有一根，從而可得關于a、b的不等式組，然后利用線性規劃知識可得w的最大值、最小值，從而得到w的取值范圍；

解答：解：（1）由題意f′（x）=3x²+2ax+b，
因為a=2b，所以f′（x）=3x²+4bx+b，
若f（x）在x=-1處取極值，則f′（-1）=3-4b+b=0，即b=1，
此時f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
當x＜-1時，f′（x）＞0，當-1＜x＜-

1

3

時，f′（x）＜0，
所以x=-1時f（x）取得極大值，此時a=2，b=1．
（2）∵函數f（x）=x³+ax²+bx在區間（-1，2），（2，3）內分別有一個極值點，
∴f′（x）=3x²+2ax+b=0在（-1，2），（2，3）內分別有一個實根，
∴

f′(-1)＞0 f′(2)＜0 f′(3)＞0

⇒

3-2a+b＞0 12+4a+b＜0 27+6a+b＞0

，
作出可行域如下圖陰影三角形所示（不含邊界）：

當直線w=a-4b經過點M、N時w分別取得最大值、最小值，
由

3-2a+b=0 6a+b+27=0

得M（-3，-9），由

4a+b+12=0 6a+b+27=0

得N（-

15

2

，18），
所以w的最大值為：-3-4×（-9）=33；最小值為：-

15

2

-4×18=-

159

2

．
所以w=a-4b的取值范圍為（-

159

2

，33）．

點評：本題考查函數取得極值的條件、線性規劃、方程根的分布等知識，屬中檔題．