Question

設函數f（x）是奇函數，并且在R上為增函數，若0≤θ≤

π

2

時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．（0，1）
• B．（-∞，0）
• C．（-∞，1）
• D．（-∞，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：根據函數f（x）是奇函數，并且在R上為增函數，利用函數的性質，我們可將0≤θ≤

π

2

時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉化為m＜

1

1-sinθ

恒成立，結合正弦型函數的性質結合分析法，我們可得

1

1-sinθ

在0≤θ≤

π

2

時的最小值，進而將恒成立問題轉化為最值問題，得到實數m的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）是奇函數，并且在R上為增函數，
∴不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0可化為
f（msinθ）＞-f（1-m）
即f（msinθ）＞f（m-1）
即msinθ＞m-1
即m＜

1

1-sinθ

在0≤θ≤

π

2

時恒成立
∵0≤θ≤

π

2

時，1-sinθ的最大值為1，故

1

1-sinθ

的最小值為1
故m＜1
即實數m的取值范圍是（-∞，1）
故選C

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與函數的單調性及恒成立問題，是函數圖象和性質的綜合應用，難度為中檔．