Question

在空間直角坐標系中，對其中任何一向量X=（x₁，x₂，x₃），定義范數||X||，它滿足以下性質：
（1）||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；
（2）對任意的實數λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此處點乘號為普通的乘號）；
（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．在平面直角坐標系中，有向量X=（x₁，x₂），
下面給出的幾個表達式中，可能表示向量X的范數的是

 

（把所有正確答案的序號都填上）
（1）

x 2 1 +2 x 2 2

       （2）

2 x 2 1 - x 2 2

     （3）

x 2 1 + x 2 2 +2

       （4）

x 2 1 + x 2 2

．

Answer 1

考點：基本不等式,向量的幾何表示

專題：不等式的解法及應用,空間向量及應用

分析：由（1）知當且僅當X為零向量時，|X|=0，由此可以排除選擇支（2），（3）．選擇支（1）滿足性質（3），

a2+2b2

+

m2+2n2

≥

(a+m)2+2(b+n)2

?2abmn≤a²n²+b²m²這是顯然成立的，同理可以知道（4）也可以．

解答： 解：由（1）知當且僅當X為零向量時，|X|=0 因此可以排除選擇支（2），（3）．
現在探索一下選擇支（1）是否滿足性質（3），

a2+2b2

+

m2+2n2

≥

(a+m)2+2(b+n)2

?2abmn≤a²n²+b²m²這是顯然成立的，所以選擇支（1）滿足性質（3）
又選擇支（1）顯然滿足性質（2）；所以選擇支能表示X的范數
同理可以知道（4）也可以表示向量X的范數．
所以經過驗證后可以知道正確的是（1），（4）．
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查了新定義向量的范數，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．