Question

已知f（x）=ae^-x+cosx-x（0＜x＜1）
（1）若對(duì)任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：e-x+sinx＜1+

x2

2

(0＜x＜1)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•e^x，記g（x）=（x-cosx）•e^x，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）在（0，1）的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=e-x+sinx-1-

x2

2

（0＜x＜1），且h（0）=0，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)判斷h（x）在（0，1）上的單調(diào)性，再借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•e^x，
記g（x）=（x-cosx）•e^x，
則g′（x）=（1+sinx）•e^x+（x-cosx）•e^x
=（1+sinx-cosx+x）•e^x，
∵0＜x＜1，
∴sinx＞0，1-cosx＞0，e^x＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上為增函數(shù)．
∴-1＜g（x）＜（1-cos1）•e，故a≤-1．

（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=e-x+sinx-1-

x2

2

（0＜x＜1），且h（0）=0，
則h′（x）=-e^-x+cosx-x，
由（1）知：當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-e^-x+cosx-x＜0（0＜x＜1），
∴h（x）在（0，1）單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（0）=0，
即e-x+sinx＜1+

x2

2

(0＜x＜1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，掌握構(gòu)造法在解題中的合理運(yùn)用．