Question

橢圓與漸近線為x±2y=0的雙曲線有相同的焦點F₁，F(xiàn)₂，P為它們的一個公共點，且∠F₁PF₂=90°，則橢圓的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由漸近線為x±2y=0，得出雙曲線中的實軸長與半焦距的關(guān)系a²=，再結(jié)合橢圓和雙曲線的定義，列出關(guān)于PF₁，PF₂，F(xiàn)₁F₂的關(guān)系式，解出c的值，代入離心率公式計算．
解答：設(shè)F₁F₂=2c，在雙曲線中，=，a²+b²=c²，得a²=．不妨設(shè)p在第一象限，則由橢圓的定義得PF₁+PF₂=，由雙曲線的定義得PF₁-PF₂=2a=又∠F₁PF₂=90°∴PF₁²+PF₂²=4c²∴48+=8c²，解c=，∴e===．
故選C
點評：本題是橢圓和雙曲線結(jié)合的好題．要充分認識到PF₁，PF₂，F(xiàn)₁F₂在兩曲線中的溝通作用．