Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

（n∈N⁺）（Ⅰ） 試求a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）記數列{

an

an+2

}（n∈N⁺}的前n項和為S_n，若對n∈N⁺恒有a²-a＞S_n+

1

2

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b_n=

an+1

an

，則b_n+1-b_n=2，從而可證數列{b_n} 為等差數列，然后利用累乘法求出a_n，從而求出a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）先求 Sn=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

，從而有a²-a≥

1

4

+

1

2

，故可求a的取值范圍．

解答：解：（I）令bn=

an+1

an

，則b_n+1-b_n=2，又b1=

a2

a1

=2
故{b_n}為首項為2，公差為2的等差數列，b_n=2n
∴bn=

an+1

an

=2n
累乘可得a_n=a^n-1（n-1）!于是a₂₀₁₁=2²⁰¹⁰×2010!
（Ⅱ） bn=2n，

an

an+2

=

1

bnbn+1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，∴Sn=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

若對n∈N⁺恒有a²-a＞S_n+

1

2

，∴a²-a≥

1

4

+

1

2

，解得 a≥

3

2

或a≤-

1

2

點評：本題主要考查了數列的通項公式的求法，并借助裂項求和，將恒成立問題轉化為通過求最值，從而轉化為解不等式，進而求出參數的范圍．