Question

已知圓C：（x-4）²+（y-m）²=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過橢圓的右焦點，且交圓C所得的弦長為，點A（3，1）在橢圓E上．
（Ⅰ）求m的值及橢圓E的方程；
（Ⅱ）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據直線交圓的弦長的值，進而求得圓心C（4，m）到直線，根據點到直線的距離求得m，進而求得橢圓E的焦點，進而根據橢圓的定義求得a，進而根據a和c求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設Q的坐標，表示出，進而設x+3y=n與橢圓方程聯立，消去y根據判別式求得n的范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為直線4x-3y-16=0交圓C所得的弦長為，
所以圓心C（4，m）到直線，
即∴m=4，或m=-4（舍去）
又因為直線4x-3y-16=0過橢圓E的右焦點，所以右焦點坐標為F₂（4，0）．
則左焦點F₁的坐標為（-4，0），因為橢圓E過A點，
所以|AF₁|+|AF₂|=2a
所以
故橢圓E的方程為：．
（Ⅱ）：
則
設x+3y=n，則由
消x得18y²-6ny+n²-18=0
由于直線x+3y=n與橢圓E有公共點，
所以△=（6n）²-4×18×（n²-18）≥0
所以-6≤n≤6，故的取值范圍為[-12，0]
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題常涉及解析幾何的所有知識和函數、不等式等很多代數知識，
當然還會用到平面幾何知識．故要求學生對基本知識應熟練掌握．