Question

已知函數f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）作出函數f（x）的圖象，并指出函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）求不等式的解集．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是分段函數問題．在解答時，對（Ⅰ）由f（1）=0即可求得m的值，從而獲得函數f（x）的解析式；對（Ⅱ）根據自變量的取值范圍不同分別不同段上的函數圖象即可，注意是兩部分開口不同的二次函數圖象，進而由圖象直接讀出函數的單調區間即可；對（Ⅲ）可采取通過函數解答不等式和分類討論直接解絕對值不等式兩種方法處理；
法二：對，可以先根據變量x的范圍去絕對值，再解相應的不等式即可．
解答：解：（Ⅰ）由f（1）=|m-1|=0⇒m=1．
∴f（x）=x|1-x|=

所以函數f（x）的解析式為：f（x）=．


（Ⅱ）圖象如圖：
∴函數f（x）的單調遞增區間是和[1，+∞），f（x）的單調遞減區間是；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數f（x）=-x²+x在區間（-∞，1）上的最大值為，
又∵函數f（x）=x²-x在區間（1，∞）上單調遞增，
如圖可知，在區間（1，∞）上存在x，有f（x）=．
即令x²-x=，解得x=．
又∵x∈（1，∞），
∴x=．
∴不等式f（x）＞的解集是．

解法二：∵x|1-x|＞，
∴①
或②
解①此不等式組無解，解②x＞．
∴不等式f（x）＞的解集是．
點評：本題考查的是分段函數問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、數形結合的思想、函數與方程的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．