Question

已知f（x）=sinx-cosx．
（1）求f(

π

3

)；
（2）若x∈（0，π），且f(x)=

17

13

，求tanx的值．

Answer 1

分析：（1）將x=

π

3

代入f（x）中計算即可得到結果；
（2）根據f（x）的值列出關系式，兩邊平方并利用完全平方公式化簡求出2sinxcosx的值，進而求出sinx+cosx的值，聯立求出sinx與cosx的值，即可確定出tanx的值．

解答：解：（1）將x=

π

3

代入得：f（

π

3

）=sin

π

3

-cos

π

3

=

3 -1

2

；
（2）∵f（x）=sinx-cosx=

17

13

，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

289

169

，即2sinxcosx=-

120

169

＜0，
∴sinx與cosx異號，
又x∈（0，π），∴x∈（

π

2

，π），
∵（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=

49

169

，
∴sinx+cosx=±

7

13

，
聯立解得：sinx=

12

13

，cosx=-

5

13

或sinx=

5

13

，cosx=-

12

13

，
則tanx=-

12

5

或tanx=-

5

12

．

點評：此題考查了二倍角的正弦，以及三角函數的化簡求值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．