Question

如圖（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分別為AC、AB的中點，將△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點，得到圖（2）．
（1）求證：EF⊥A′C；
（2）求三棱錐F-A′BC的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證EF⊥A'C，可先證EF⊥平面A'EC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF⊥平面A'EC內兩相交直線垂直，而EF⊥A'E，EF⊥EC，EC∩A‘E=E，滿足定理條件；
（2）先根據題意求出S△FBC，將求三棱錐F-A′BC的體積轉化成求三棱錐A′-BCF的體積，再根據三棱錐的體積公式求解即可．

解答：解：（1）證明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位線，∴EF⊥AC（2分）
在四棱錐A'-BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，（4分）
又EC∩A‘E=E∴EF⊥平面A'EC，（5分）
又A'C?平面A'EC，∴EF⊥A'C（6分）
（2）在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，
∴S△FBC=

1

2

BC•EC=4
又∵A'O垂直平分EC，∴A′O=

A′E2-EO2

=

3

∴V=

1

3

S△FBC•A′O=

1

3

×4×

3

=

4 3

3

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．