Question

已知函數y=log2

x

4

•log2

x

2

（2≤x≤4）
（1）當x=4

2

3

時，求y的值．
（2）令t=log₂x，求y關于t的函數關系式．
（3）求該函數的值域．

Answer 1

分析：（1）當）x=4

2

3

時，log₂x=

4

3

，代入y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-2）•（log₂x-1）可得答案；
（2）若t=log₂x，（2≤x≤4），則1≤t≤2，代入y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-2）•（log₂x-1）可得y關于t的函數關系式．
（3）分析y=t²-3t+2的圖象形狀，結合1≤t≤2，由二次函數的圖象和性質，可求出函數的最值，進而得到函數的值域．

解答：解：（1）x=4

2

3

=2

4

3

時，log₂x=

4

3

∴y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-log₂4）•（log₂x-log₂2）
=（log₂x-2）•（log₂x-1）
=-

2

3

•

1

3

=-

2

9

（2）若t=log₂x，（2≤x≤4）
則1≤t≤2，
則y=log2

x

4

•log2

x

2

=（log₂x-2）•（log₂x-1）
=（t-2）•（t-1）
=t²-3t+2（1≤t≤2）
（3）∵y=t²-3t+2的圖象是開口朝上，且以t=

3

2

為對稱軸的拋物線
又∵1≤t≤2
∴當t=

3

2

時，ymin=-

1

4

當t=1或2時，y_max=0
故函數的值域是[-

1

4

，0]

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法，函數的值域，函數的值，熟練掌握換元法求函數解析式及二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．