Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為

x=-1

．

Answer 1

分析：先假設A，B的坐標，根據A，B滿足拋物線方程將其代入得到兩個關系式，再將兩個關系式相減根據直線的斜率和線段AB的中點的縱坐標的值可求出p的值，進而得到準線方程．

解答：解：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式想減得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
又因為直線的斜率為1，所以

y1- y2

x1- x2

=1，
所以有y₁+y₂=2p，又線段AB的中點的縱坐標為2，
即y₁+y₂=4，所以p=2，
所以拋物線的準線方程為x=-

p

2

=-1．
故答案為：x=-1．

點評：本題考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識．