Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為圓的圓心，且圓截軸所得弦長(zhǎng)為4．

（1）求橢圓與圓的方程；

（2）若直線與曲線，都只有一個(gè)公共點(diǎn)，記直線與圓的公共點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為 ；圓的方程為． (2) 或．

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為圓C2：（x﹣1）2+y2＝r2的圓心，列出方程組，求出a，b，c，由此能求出橢圓的方程；由圓截y軸所得弦長(zhǎng)為4，得＝22+12＝5，由此能求出圓的方程．（2）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，推導(dǎo)出4k2﹣m2＝2km﹣5，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由此利用根的判別式、直線方程、圓、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線l與圓的公共點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（1）由題意知：解得

又，

所以橢圓的方程為．

因?yàn)閳A截軸所得弦長(zhǎng)為4，所以，

所以圓的方程為．

（2）設(shè)直線的方程為，則

，

即①

由得，

因?yàn)橹本�與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以

，

化簡(jiǎn)，得 ②

①②聯(lián)立，解得或

由解得，

由解得，

故直線與圓的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為或．