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已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.
(Ⅰ)若a=1,求不等式的解集;
(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)對于不等式 2|x-3|+|x-4|<2,分x≥4、3<x<4、x≤3三種情況分別求出解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)化簡f(x)的解析式,求出f(x)的最小值,要使不等式的解集不是空集,2a大于f(x)的最小值,由此求得a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)對于不等式 2|x-3|+|x-4|<2,
①若x≥4,則3x-10<2,x<4,∴舍去.
②若3<x<4,則x-2<2,∴3<x<4.
③若x≤3,則10-3x<2,∴<x≤3.
綜上,不等式的解集為. …(5分)
(Ⅱ)設f(x)=2|x-3|+|x-4|,則f(x)=,∴f(x)≥1.
要使不等式的解集不是空集,2a大于f(x)的最小值,
故 2a>1,∴
即a的取值范圍(,+∞).  …(10分)
點評:本題主要考查絕對值不等式的解法,體現(xiàn)了分類討論以及轉化的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•商丘三模)已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.
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(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年河北省保定市徐水綜合高中高考數(shù)學模擬試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范圍.

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