Question

若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)可設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）-f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；
（2）欲使在區(qū)間[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只須x²-3x+1-m＞0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，也就是要x²-3x+1-m的最小值大于0，即可得m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知，f（0）=1，解得，c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x．可知，[a（x+1）²+b（x+1）+1]-（ax²+bx+1）=2x，
化簡得，2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
∴a=1，b=-1．
∴f（x）=x²-x+1；
（2）不等式f（x）＞2x+m，可化簡為x²-x+1＞2x+m，
即x²-3x+1-m＞0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
設g（x）=x²-3x+1-m，則其對稱軸為x=

3

2

，
∴g（x）在[-1，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
因此只需g（x）的最小值大于零即可，
g（x）_min=g（1），
∴g（1）＞0，
即1-3+1-m＞0，解得，m＜-1，
∴實數(shù)m的取值范圍是m＜-1．

點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉化，主要涉及單調(diào)性在函數(shù)的最值求解中的應用．屬于中檔題．