Question

已知數列{a_n}和{b_n}中，a₁=2，an+1=

2

an+1

，bn=|

an+2

an-1

|，n∈N^*，則b₃=

16

；若b_k不超過257，則最大的正整數k=

7

．

Answer 1

分析：由a₁=2，an+1=

2

an+1

，bn=|

an+2

an-1

|，n∈N^*，分別求出b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，b₇，b₈，由此能求出結果．

解答：解：∵a₁=2，an+1=

2

an+1

，bn=|

an+2

an-1

|，n∈N^*，
∴b₁=|

2+2

2-1

|=4，
a2=

2

2+1

=

2

3

，b₂=|

2 3 +2

2 3 -1

|=8，
a3=

2

2 3 +1

=

6

5

，b3=|

6 5 +2

6 5 -1

|=16，
a₄=

2

6 5 +1

=

10

11

，b₄=|

10 11 +2

10 11 -1

|=32，
a₅=

2

10 11 +1

=

22

21

，b₅=|

22 21 +2

22 21 -1

|=64，
a₆=

2

22 21 +1

=

42

43

，b₆=|

42 43 +2

42 43 -1

|=128，
a₇=

2

42 43 +1

=

86

85

，b₇=|

86 85 +2

86 85 -1

|=256，
a₈=

2

86 85 +1

=

170

171

，b₈=|

170 171 +2

170 171 -1

|=512．
∴若b_k不超過257，則最大的正整數k=7．
故答案為：16，7．

點評：本題考查等差數列與等比數列的應用，考查遞推公式的應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．