Question

如圖，△ABC與△BCD是一副三角板，它們所在的兩個平面互相垂直，且AB=AC，∠BAC=∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求證：△ACD和△BAD都是直角三角形；
（Ⅱ）求直線BD與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據BC⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，利用面面垂直的性質得DC⊥平面ABC，從而得到線線垂直，再利用線面垂直的判定得AB⊥平面ACD，從而證得結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BDA為直線BD與平面ACD所成角．設出AB的長度，利用解三角形求解直線BD與平面ACD所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
由已知，△ABC與△BCD是直角三角形，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，且CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，AB?平面ABC，
∴CD⊥AC，CD⊥AB，△ACD是直角三角形．
又AB⊥AC，AC∩CD=C，∴AB⊥平面ACD，AD?ADC，∴AB⊥AD．
∴△ABD也是直角三角形．
∴△ACD和△BAD都是直角三角形；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB⊥平面ACD，∴∠BDA為直線BD與平面ACD所成角．
設AB=a，∵△ABC為等腰直角三角形，∴BC=

2

a，
在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，∴BD=

2 6 a

3

，
則sin∠BDA=

a

2 6 a 3

=

6

4

．
∴直線BD與平面ACD所成角的正弦值為

6

4

．

點評：本題考查了直線和平面垂直的判定和性質，考查了線面角的求法，考查了學生的空間想象和思維能力，是中檔題．