Question

設函數y=f（x）是定義在R₊上的函數，并且滿足下面三個條件：
（1）對任意正數x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）當x＞1時，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．
（III）如果存在正數k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、的值；且當x＞1時，f（x）＜0，根據函數單調性的定義討論函數的單調性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式，解不等式即可求得結果．
（III）把f（kx）+f（2-x）根據條件轉化為f[kx（2-x）]，根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式有解，分離參數轉化我求函數的最值問題．
解答：解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且，
得．
（II）設0＜x₁＜x₂＜+∞，由條件（1）可得，
因，由（2）知，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是遞減的函數．
由條件（1）及（I）的結果得：
其中0＜x＜2，由函數f（x）在R₊上的遞減性，可得：，
由此解得x的范圍是．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化為且0＜x＜2，
得，此不等式有解，等價于，
在0＜x＜2的范圍內，易知x（2-x）_max=1，
故即為所求范圍．
點評：考查利用函數單調性的定義探討抽象函數的單調性問題，對于解決抽象函數的一般采用賦值法，求某些點的函數值和證明不等式等，體現了轉化的思想，（III）不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，采取分離參數的方法，轉化為函數的最值問題，加大了試題的難度，屬中檔題．