Question

如圖，已知三棱錐A-PBC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且AB=2MP．
（1）求證：DM∥平面APC；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由MD為三角形PAB的中位線，可得MD∥AP．再根據直線和平面平行的判定定理證得DM∥平面APC．
（2）由條件證得PA⊥平面PBC，可得PA⊥BC；再由BC⊥PC，證得BC⊥平面PAC．利用平面和平面垂直的判定定理證得平面ABC⊥平面APC．
解答：解：（1）由于M為AB中點，D為PB中點，故MD為三角形PAB的中位線，故MD∥AP．
而AP?平面APC，MD不在平面APC內，故有DM∥平面APC．
（2）∵M為AB中點，且AB=2MP，故有MA=MB=MP，故M為△PAB的外心，故有PA⊥PB．
再由AP⊥PC，PB∩PC=P，可得PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．
再由BC⊥PC，PA∩PC=P，可得BC⊥平面PAC．
而BC?平面ABC，故有平面ABC⊥平面APC．
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理、性質定理，以及平面和平面垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．