Question

（2011•花都區模擬）已知F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，

AF2

•

F1F2

=0，若橢圓的離心率等于

2

2

．
（1）求直線AO的方程（O為坐標原點）；
（2）直線AO交橢圓于點B，若三角形ABF₂的面積等于4

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的離心率e=

2

2

，即c=

2

2

a，可得b2=

1

2

a2，因此設橢圓方程為x²+2y²=a²．再設點A（x₀，y₀），因為向量

AF2

、

F1F2

的數量積為0，得到AF₂、F₁F₂互相垂直，所以x₀=c，將A（c，y₀），代入橢圓方程，化簡可得y0=

1

2

a，得到A的坐標，從而得到直線AO的斜率為

2

2

，最后根據直線AO過原點，得直線AO的方程為y=

2

2

x；
（2）連接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，由橢圓的對稱性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，可用△AF₁F₂的面積列式，解之得a²=16，c²=

1

2

a²=8，所以b²=a²-c²=8，最終得到橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1．

解答：解：（1）∵

AF2

•

F1F2

=0，∴AF₂⊥F₁F₂，
又∵橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

2

a，可得b2=

1

2

a2，--------（3分）
設橢圓方程為x²+2y²=a²，設A（x₀，y₀），由AF₂⊥F₁F₂，得x₀=c
∴A（c，y₀），代入橢圓方程，化簡可得y0=

1

2

a（舍負）--------（5分）
∴A（

2 a

2

，

a

2

），可得直線AO的斜率KOA=

2

2

--------（6分）
因為直線AO過原點，故直線AO的方程為y=

2

2

x--------（7分）
（2）連接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，
由橢圓的對稱性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，--------（9分）
∴S_△AF1F2=

1

2

×2c×y_A=4

2

，即

1

2

ac=4

2

--------（10分）
又∵c=

2

2

a
∴

2

4

a²=4

2

，解之得a²=16，c²=

1

2

a²=8，
∴b²=a²-c²=8，故橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1--------（13分）

點評：本題給出一個特殊的橢圓，在已知其離心率的情況下求直線的方程和三角形的面積，著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質，屬于基礎題．