Question

【題目】已知函數，其中．

（1）若曲線與曲線在點處有相同的切線，試討論函數的單調性；

（2）若，函數在上為增函數，求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：(1)根據求得 ，再求 ，導數的兩個零點分別是和 ，分 三種情況討論函數的單調區間；（2）首先求函數的導數，，將問題轉化為 ，當 ，即 ，當時，將問題轉化為恒成立問題，求所設函數的最值，即可求得結果.

試題解析：解：（1）由題意可得，

則 ，即,

當時，，此時在上遞增；

②當時，當時，；當時，；

在上遞增，在上遞減；

③當時，當時，；當時，；

在上遞增，在上遞減；

（2）由題意可得對恒成立，

∵，∴，即對恒成立，

∴，即對恒成立，

設，，

則，

∴在上遞增，

∴，∴．

又，∴．