Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

3

，右準線方程為x=

3

3

（I）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l是圓O：x²+y²=2上動點P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，證明∠AOB的大小為定值．

Answer 1

分析：（ I）先利用條件列出關于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出雙曲線方程．
（II）先求出圓的切線方程，再把切線與雙曲線方程聯立求出關于點A，B坐標之間的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可證明∠AOB的大小為定值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

a2 c = 3 3 c a = 3

，
解得a=1，c=

3

，
b²=c²-a²=2，
∴所求雙曲C的方程x2-

y2

2

=1．
（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x²+y²=2上，
圓在點P（m，n）處的切線方程為y-n=-

m

n

（x-m），
化簡得mx+ny=2．

x2- y2 2 =1 mx+ny=2

以及m²+n²=2得
（3m²-4）x²-4mx+8-2m²=0，
∵切L與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0＜m²＜2，
3m²-4≠0，且△=16m²-4（3m²-4）（8-2m²）＞0，
設A、B兩點的坐標分別（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=

4m

3m2-4

，x₁x₂=

8-2m2

3m2-4

．
∵cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

，
且

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+

1

y02

(2-x0x1)(2-x0x2)
=x₁x₂+

1

2-m2

[4-2m（x₁+x₂）+m²x₁x₂]
=

8-2m2

3m2-4

+

1

2-m2

[4-

8m2

3m2-4

+

m2(8-2m2)

3m2-4

]
=

8-2m2

3m2-4

-

8-2m2

3m2-4

=0．
∴∠AOB的大小為90⁰．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，
考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．