Question

已知函數f(x)＝ln(2ax＋1)＋－x²－2ax(a∈R)．

(1)若x＝2為f(x)的極值點，求實數a的值；

(2)若y＝f(x)在[3，＋∞)上為增函數，求實數a的取值范圍；

(3)當a＝－時，方程f(1－x)＝有實根，求實數b的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)．1分 　　因為為的極值點，所以；2分 　　即，解得；3分 　　又當時，，從而的極值點成立．4分 　　(2)因為在區間上為增函數， 　　所以在區間上恒成立．5分 　　①當時，在上恒成立，所以上為增函數，故符合題意．6分 　　②當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以上恒成立；7分 　　令，其對稱軸為，8分 　　因為所以，從而上恒成立，只要即可，因為，解得．9分 　　因為，所以． 　　綜上所述，的取值范圍為．10分 　　(3)若時，方程可化為，． 　　問題轉化為在上有解， 　　即求函數的值域．11分 　　以下給出兩種求函數值域的方法： 　　方法1：因為，令， 　　則，12分 　　所以當，從而上為增函數， 　　當，從而上為減函數，13分 　　因此． 　　而，故， 　　因此當時，取得最大值0；14分 　　方法2：因為，所以． 　　設，則． 　　當時，，所以在上單調遞增； 　　當時，，所以在上單調遞減； 　　因為，故必有，又， 　　因此必存在實數使得， 　　，所以上單調遞減； 　　當，所以上單調遞增； 　　當上單調遞減； 　　又因為， 　　當，則，又． 　　因此當時，取得最大值0．(14分)