Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的右焦點為F，上頂點為A，短軸長為2，O為原點，直線AF與橢圓C的另一個交點為B，且△AOF的面積是△BOF的面積的3倍．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于P，Q兩點，若在橢圓C上存在點R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：短軸長為2，可得b=1，

即有A（0，1），設F（c，0），B（x0，y0），

△AOF的面積是△BOF的面積的3倍，

即為 c1=3 c|y0|，

可得y0=﹣ ，由直線AF：y=﹣ +1經過B，

可得x0= c，即B（ c，﹣ ），代入橢圓方程可得，

+ =1，即為a2=2c2，即有a2=2b2=2，

則橢圓方程為 +y2=1

（2）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），

由OPRQ為平行四邊形，可得x1+x2=xR，y1+y2=yR，

R在橢圓C上，可得 +（y1+y2）2=1，

即為 +（k（x1+x2）+2m）2=1，

化為（1+2k2）（（x1+x2）2+8km（x1+x2）+8m2=2，①

由 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

由△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，即為1+2k2＞m2，②

x1+x2=﹣ ，代入①可得 ﹣ +8m2=2，

化為1+2k2=4m2，代入②可得m≠0，

又4m2=1+2k2≥1，解得m≥ 或m≤﹣ ．

則m的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）由題意可得b=1，A（0，1），設F（c，0），B（x0 ， yspan>0），運用三角形的面積公式可得y0=﹣ ，再由直線AF的方程經過B，可得B的坐標，代入橢圓方程，解得a，b，進而得到橢圓方程；（2）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由OPRQ為平行四邊形，可得x1+x2=xR ， y1+y2=yR ， R在橢圓C上，代入橢圓方程，再由直線l與橢圓方程聯立，運用韋達定理和判別式大于0，化簡整理，解不等式即可得到所求m的范圍．