Question

已知，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記動點P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）曲線E的一條切線為l，過F₁，F₂作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F₁M|•|F₂N|的值；
（3）曲線E的一條切線為l，與x軸分別交于A，B兩點，求|AB|的最小值，并求此時切線的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知P點軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，，由此能求出E的方程．
（2）當切線斜率不存在時，切線為x=±2，此時|F₁M|•|F₂N|=1．當切線斜率存在時，設切線方程為y=kx+b，則由題意可知，，所以|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，，由此可求出AB的最小值為3，此時斜率為．
解答：解：（1）∵
又∵
∴P點軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，，
故橢圓方程為
（2）①當切線斜率不存在時，切線為x=±2，此時|F₁M|•|F₂N|=1．
②當切線斜率存在時，設切線方程為y=kx+b，（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
△=（8kb）²-4（1+4k²）（4b²-4）=0，
∴b²=4k²，，，，
綜上所述，|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，，
當且僅當，即時取等號
故AB²的最小值為3，此時斜率為
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，解題時要注意均值不等式的合理運用．